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渗透数学思想提升函数教学有效性

【摘　要】本文从数形结合探寻数量关系、分类讨论辨析异同特点、归化换元和转化等价命题、假设猜想反推条件求证四个方面,论述利用数学思想方法解答函数问题的方法,提出在教学中渗透数学思想,能更好地提升函数教学的有效性.

【关键词】函数数学思维动态变化教学有效性

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）09B-0142-02

新课标中明确指出,要将数学思想的教学提升到数学基础知识的教学地位上来.数学思想是指事物经过空间变化和数量关系反映到人的意识之中后,由人的大脑经过思维转化而产生的一种结果.函数与方程是高中数学教学过程中很重要的一部分,借助各个变量之间的变化关系,用函数的形式表达事物的变化过程.函数是高中数学中最典型的描述事物动态变化的模型,是高中数学知识体系的重要内容.因此教师要抓住函数的本质,从渗透数学思维入手,培养和训练学生的数学思维,帮助学生学习函数知识、理解函数知识,引导学生通过分析运动和变化建立函数关系,求解各种问题,提升函数教学的有效性.

一、数形结合,探寻数量关系

数形结合是高中数学解题的常用方法,也是解决函数问题的有效手段.学生面对只有数学描述没有图形的题目时,经常觉得难以直观地了解题意；当面对只有图形没有数学描述的题目时,又难以细致入微地分析.只有将数与形进行有机结合,才能更好地探寻题目中的数量关系.例如,对数函数中有这样一道例题：

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好,割裂分家万事休.”引导学生用数形结合的思维方法思考问题,用直观的图形将抽象的数量关系表示出来.利用图形的规律确定数量的性质,对解决函数问题有事半功倍的效果.

二、分类讨论,辨析异同特点

“化零为整、化整为零”是教师在进行高中数学教学中经常说的思维方法,也就是分类讨论的数学思维.针对所给对象无法统一或存在多种可能性和不同特点的函数题目时,教师要引导学生对题目进行分类讨论,辨析所给变量的异同特点,逐类进行分析研究,从而达到解题的目的.例如,在练习求函数值域、单调性的时候,有这样一道例题：

在高中函数的学习过程中,由于函数的性质、定理的限制,经常需要对函数中出现的参数进行分类讨论,针对每一类对象特点进行研究.教师在解这类题目时,要渗透分类讨论的数学思想,准确辨析题目的异同点,帮助学生有效地进行函数知识的学习.

三、归化换元,转化等价命题

所谓归化思想,就是把复杂、抽象的问题,通过等效替代,转化成简单、直观的问题.教师要培养学生归化换元的思想,把非标准形式的不等式、函数转化成便于理解的基本函数问题,通过等价命题解决函数问题.

要想培养学生归化换元思想,教师要先熟悉归化思想,熟练换元解题的方法,然后才能在教学的过程中将这一思想渗透到教学之中,潜移默化地培养学生归化换元解题的意识,引导学生用等效命题化解难度,有效解答函数问题.

四、假设猜想,反推条件求证

牛顿曾说过：“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现.”在高中函数问题中,先假设猜想结论成立或不成立,再通过反推条件证明题目中的条件是不是结论成立的充分条件,可以有效避免正向思维受到的限制,这是有效解决函数问题的方法之一.例如,有这样一道例题：

设直线 l1∶y等于k1x+1,l2∶y等于k2x-1,其中实数 k1,k2 满足k1k2+2等于0,试证明 l1 与 l2 有交点.

学生读完题目之后,多数都会进行正向思维,当 l1 与 l2 在某一个 y 值下,k1x+1等于k2x-1 有解时,即证明 l1 与 l2 有交点.因此笔者引导学生,进行反向思维,先假设结论是不成立的,即 l1与 l2 无交点,则 l1 与 l2 必然是平行或者重合,即 k1等于k2,再带入k1k2+2等于0,则有 k12+2等于0,这显然是错误的,也就是说跟题目中的条件“实数 k1,k2 满足 k1k2+2等于0”相矛盾,从而得出 k1 和 k2必然是不相等的,即 l1 与 l2 是相交的,有交点.学生通过这道例题,学会了从反向结论下手,从未知推向已知,证明猜想与已知相矛盾,从而得出未知问题是否成立的结论.

教师在函数教学过程中,有意地渗透假设、猜想思维,激发学生的主观能动性,提高学生学习的兴趣和信心,给予学生函数解题的新思路,帮助学生由点及面,一步步推导出题目的答案.

数学思想是数学认知和数学方法的源泉,教师在函数教学中主动渗透数学思想,帮助学生处理和解决数学问题,培养学习,树立解题自信心,引导学生将知识转化为解决函数问题的法宝,提升函数教学的有效性.

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