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让过程性评价走向三强三优以《编写童话故事》的教学为例

武汉第三寄宿中学王松

在数学的学习过程中,每个人的感悟不尽相同.有的学生认为数学学习很快乐,为每一次独立思考出来一个问题感到满足,长此以往在数学能力上有很大提升,进而激发更大的学习热情;而有的学生认为数学的学习很痛苦,对毫无头绪的数学问题面露难色,由于疑难点的不断积累,久而久之就滋生厌学逃避的念头.作为数学教师,我始终在思考如何让学生的学习负担轻、效率高、有乐趣、效果好.我认为要让学生“乐学、易学、会学”,关键是在在教学过程中从以下几个方面培养学生的解决数学问题的能力.

一、培养学生解决数学问题的正确性

学生解题往往是单向思维,能找到解题方向已不容易,但是由于各种原因导致学生出现会而不对、对而不全的现象.针对这种情况,要注意对学生解答过程的“审、解、验”三个方面进行训练,帮助学生克服会而错的问题.

1.重视审清题意,养成良好习惯

例1:的算术平方根是

在针对上面问题教学时,学生很容易做错,此时要让学生尽可能的表达自己的见解,注意留给学生消化的时间,积累经验以免下次出错,把审题训练和例题结合在一起,强化学生正面的学习体验.

2.细心对待解答过程,关键步骤不出错

例2:解方程

学生会在去分母时,对常数1漏乘3(x+1)这个公分母,导致结果算错.教师在备课阶段要充分预测此类问题的出现,采用多人演板的方式,尽可能的暴露这类问题,让学生充分讨论并发现问题,帮助学生加深印象,以免再次出错,同时还要提醒学生养成做题后检查的好习惯.

3.认真检验答案,避免出现会而不全的情况

例3:已知一个直角三角形中两边分别为3和4,求第三边的长.

在例3这个问题中,学生在认识了最熟悉的勾股数“3,4,5”后,极易产生漏解情况,导致会而不全的问题出现.在出现这类问题时,教师一定要引起高度重视,尤其要强调让学生去发现哪里出了问题,是什么原因导致出现了问题,进而知道自己应该注意什么问题,纠正自己思维上的片面性.

例4:已知一个等腰三角形的两边分别为3、8,求这个等腰三角形的周长.

例4的难度不大,学生在明确了等腰三角形的定义后,都能知道分两种情况予以考虑:(1)腰为3,底为8;(2)底为3,腰为8.但是,对于能否构成三角形这一实际情况没有考虑,只是单纯计算出来结果,由于这一解题盲点,导致结果出错.在检验环节出错的现象,是学生最容易犯的错误,也是学生最忽视的问题,针对这类问题,学生的学习体验很重要,尤其是出错的经验,能帮助学生不再出错.教学中要渗透检验答案与题目是否协调的解题意识,通过正反例子的比对,进一步强化学生认识检验的重要性.

“审题、解答、检验”是初中生解决数学问题的三个必须的环节.培养学生养成良好解题习惯,是提高解决问题能力的前提,并不是一朝一夕就能完成的,必须经过相当长的时间来训练强化,教师应在备课、课堂教学、作业评价、测试反馈每个环节上不断帮助学生积累解题经验、强化学习体验,最终转化成学生能力的提升.

二、注重引导学生对学习内容进行迁移

1.针对数学问题进行适当变式训练

所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变,也就是所谓“万变不离其宗”.题目形式的变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联,而在形式上又不同的题目组成的题组,使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会,达到触类旁通的境地.

此问题是抓住“两点之间,线段最短”及“三角形中两边之和大于第三边”这两个知识点,通过作图发现符合条件的P点位置,学生并不是很难理解.我对此问题作如下变式训练:

变式1:在直线L同侧有A、B两点,试在直线L上找到一点P,使得AP+BP最小.

变式2:在直线L同侧有A、B两点,试在直线L上找到一点P,使得|AP-BP | 最大.

变式3:在直线L两侧有A、B两点,试在直线L上找到一点P,使得|AP-BP |最大.

以上变式仍然是以“三角形三边不等关系”及“两点之间,线段最短”为考察内容,思维上升到划归的层次,操作上要求学生进行轴对称变换,通过解决上述问题,让学生对此类问题有了更深的认识,使得学生的能力得到提升.

变式4:已知P点为∠MON内一点,试在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得△PAB的周长最小.

变式4是以三角形为背景,是对变式2的延伸,通过对前面问题的研究,使得学生加深对知识的理解,思维上得到升华.

变式5:(2013年武汉市中考)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE-DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是____.

变式5是2013年武汉市中考中的一道填空题,以正方形为载体,设置了运动与最值的考察内容,通过取AB的中点0,连接OH、OD,实质上就是线段AC两侧的两定点0、D,求AG上一点H,使OD-OH值最小的问题,方法与例4是完全一样的,结合OD等于、OH等于1,得到DH最小为.这道题图形熟悉、方法常规,但要求学生对问题有很高的辨识能力,对学生知识整合运用能力的要求非常高,达到了对学生能力考察的目的,也体现了在日常教学中培养学生对常规问题辨析能力的重要意义.

针对数学问题的“变式教学”,在围绕一两道数学问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化,使学生得以掌握与提高,是培养学生举一反三、灵活转换、独立思考能力,从而减轻学生学业负担,培养学生的创新能力.

2.针对数学问题适度延伸和拓展

对问题的延伸和拓展,思考容量大,既包含了对以往知识的回顾,又有现学知识的应用.这种安排方式既让全体学生都能在学习内容上得到发挥,又使学生必须“跳一跳,才能摘到果子”,学有余力的学生就会在解题过程中出现强烈的表现,产生浓厚的学习兴趣.因为是结合教学内容设计的习题,潜能生也要积极参与思考、探究,从其他同学的解题中受到启发,发展智力、提升能力.

例6:如图,已知点A、B、D三点共线,分别以AB、BD为边在线段AD同侧作等边三角形ABC、BDE,连接AE交BC于M,连接CD交BE于N,AE、CD交于F,连接BF.

课堂上设置以上几个问题,是采取阶梯提问的方式,一步步引导学生攀登高峰.问题(1)主要是对常规知识的应用与回顾,目的是让全体学生都能动手,也体现了运用全等思想证明线段、角相等的基本思路;问题(2)、(3)、(4)是基本图形的基本方法与基本结论的研究,是为了对问题进行延伸与拓展作铺垫;问题(5)的目的是为了强化问题(4)的学习效果,训练学生识图、辨析的能力;问题(6)属于“中点四边形”问题,思维上从三角形上升至四边形高度,体现了四边形问题与三角形问题的最大区别在于对对角线的研究,进一步提升对对角线相等的四边形的中点四边形为菱形的认识;问题(7)是对于特定菱形——由两个全等的正三角形组成的菱形面积的探究,是对边长为a的正三角形的面积等于的再认识过程,将四边形的问题转化成三角形问题,体现了化归思想的应用.

拓展训练:例7:如图,已知点A、B、D三点共线,分别以AB、BD为边在线段AD同侧作等腰直角三角形ABC、BDE,连接AE、CD,延长AE交CD于F,连接BF.

(5)分别取AC、EC,ED、RT的中点P、Q、R、T,判定四边形PQRT的形状;

(6)若AB等于4,BD等于2,求四边形PQRT的面积.

例7改变了图形背景,但方法基本不变,有了前面问题的铺垫,让潜能生有了施展本领的机会,激发了学生的学习热情,培养了学生灵活变通的解题素养.

延伸训练:1.将例6中的等边三角形BDE绕B点旋转,结论是否仍然成立?

2.将例7中的等腰直角三角形BDE绕B点旋转,结论是否仍然成立?

延伸训练主要是从运动的角度看待同一问题,对于学习基础好的学生是一次攀登高峰的挑战,由于运动过程中,结论发生变化,难度变大了,这样安排培养学生的独立思考的能力,渗透了从特殊到一般、在一般中发现特殊的数学思想,体现了新课标的教学要求,让不同层次的学生均能得到相应的发展,同时也锻炼了学生独立解决问题的能力.

对于所学内容的迁移要根据教学或学习的需要,遵循学生的认知规律而设计,其目的是通过训练,使学生在理解知识的基础上,把学到的知识转化为能力,形成技能技巧,完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程.因此,教学中迁移训练设计要巧,要正确把握度,要有目的性,要起到引导、激发学生思维活动的作用.实践证明,数学变式训练是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式,它能有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性,通过迁移训练,达到激活学生思维,提高课堂效率的目的,同时也培养了学生解决数学问题的能力.

三、倡导“一题多解”,激发学生思维的多样性

一题多解是指学生针对同一道试题得出两种或两种以上的解答方法,它属于解题的策略问题.心理学研究表明,在解决问题的过程中,如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题,那么,就需要进行创造性的思维,需要有一种解题策略,所以策略的产生及其正确性被证实的过程,常常被视为创造的过程或解决问题的过程.

在课堂上选择这样的例题,不仅可以拓展学生思维,提高学生综合运用知识的能力,而且对学生解题能力的提高也起着非常重要的作用.因此,在数学教学过程中,教师要倡导学生进行一题多解,要让学生在寻找多种答案的过程中提高思维能力.

例8:已知:如图,在△ABC中,∠B等于60°.CD、AE分别是AB、BC边上的高,求证:AC等于2DE.

我选择这道例题讲解时,学生提供了几种方法:方法1,(如图1)发现A、D、E、C四点共圆,进而发现△ABC与△EBD相似且相似比为2:1;方法2,(如图2)分别取AB、BC的中点P、Q,进而发现△BPQ与△BED全等,由三角形中位线得到AC等于2PQ等于2DE;等等.由学生提供的多种解法来看,学生的思维是没有受到限制的,在寻找破题思路上,是在自己主观指导下创造性地寻求解法,并且有部分学生获得了成功.在随后的讲评过程中,通过学生们的展示交流和老师的点评,让全体学生有了多元化的体验,思维上得到升华,并且自身又选择性地接受同伴的思路,增加了解题经验的积累,从而提升了解题能力.

一题多解不但从实际上解决问题,为解题提供不同的策略和方法,也为学生解题思维的培养产生重大意义.这种意义体现在:(1)利于拓宽学生的思维空间;(2)利于培养学生思维的灵活性;(3)利于培养学生思维的严密性;(4)利于培养学生的创造性思维;(5)利于鼓励学生独立个性的发展;(6)利于转变学生的学习方式.由于一题多解中解法的多样性、新颖性,促使学生自主探究、相互进行交流与合作.为了寻找更简洁的解题方法,学生会主动查资料,学习从不同角度研究问题,还能主动与他人合作,分享经验,从而提高学生的学习信心.

总之,培养学生独立解决问题的能力是数学教学的重要目的,在解题过程中渗透数学的思想方法,进而转化成学生的逻辑思维能力.学生在解决问题时经历从“模仿完成——独立完成——创造性完成”,让不同层次的学生现有的能力均能得到发展.所以,教师绝不能充当“课本的点读机”和“答案的复印机”,而应该创造性地培养学生能力,真正成为学生求学道路上的“引路人”和攀登高峰的“垫脚石”.

责任编辑郑占怡

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