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在小学数学概念教学中帮助学生积累数学活动经验的实践和
小学生思维的心理特征是以具体形象思维为主要形式,逐步向抽象思维过渡.他们对数学概念的形成与建构往往是基于大量的直观经验的基础之上的,没有足够的直观经验作基础,概念的建立是不完整的.所以在学生形成概念的过程中,教师必须给学生充分的积累数学活动经验的机会,在活动中展现概念的形成过程,让学生亲身经历数学概念形成过程的形象性和生动性,充分展现概念发生、发展、形成的过程,让学生充分经历“个性化”的定义过程.
通过实践研究,我发现在课前、课中、课后三个阶段都可以设计适当的数学活动,以此来帮助学生积累数学活动经验.
一、在课前激活数学活动经验
（一）充分利用学生已有的生活经验
（1）可以直接拿来促进学生概念学习的生活经验.这类直接源于生活经验的数学活动,必须有明确的数学目标,体现数学本质,不能停留在原来的生活经验上.
例如像体积这样的非常原始的概念,小学里就主要是诉诸直觉.学生完全能够理解体积的定义,我们的任务是帮助学生理解体积的特征.我们在教学活动中要做的,就是充分激活学生已有的生活经验和数学经验进行对接,让学生在面积、体积的比较辨析中,在物体大小的比较中真正理解体积的内涵,把握概念的本质.
在比较具体实物的体积大小的过程中,学生已有活动经验被不断地提取出来.比如当学生看到长宽高都不一样的字典和报纸的时候,出现了两种不同的意见：有的认为字典厚就是体积大,有的认为报纸正面大就是体积大,一下子无法准确比较出谁大谁小?在我的追问下,学生凭借生活经验把报纸折叠起来,试图使两者的某一个面大小基本相等,然后通过比较厚度来比较出整个物体的大小.当学生无法比较出两个长方体的大小的时候,我出示棱长为1 厘米的小正方体作为标准,让学生通过数一数的方式来比较两个长方体的体积大小,也为体积单位的学习埋下了伏笔.而比较桔子和香梨的体积,自然是激活了学生“乌鸦喝水”的学习经验或者是生活中往水中放物体引起水面上升的经验.
通过这样一系列的数学活动,能提升学生的“比较”经验,进一步丰富了学生对体积概念的感知与理解.
（2）模拟生活实际创设情境,构建数学模型所获得的数学经验.这些情境,依时间地点的不同,教师的关注程度,组织起适当的数学活动,最后以数学建模的方式,获得应用数学解决问题的实际经验.由于实际情境非常复杂,课堂上使用的情境,是经过提炼、简化、筛选的,离开实际状况有一定的距离,但仍然是密切结合实际的数学体验.
例如,在学习“垂直”、“平行”时,我就会创设看地图的情境,当然这些地图都是简化后的,能帮助学生发现垂直和平行关系的.再如,在学习“小数”时,则可以创设这样的情境,用一条只标有“米”刻度的纸带量一量教室黑板的底边是多少米.学生通过动手测量,发现黑板比1 米长,比2 米短,无法测出精确的数值.于是通过思考和讨论,尝试着把1 米平均分成10 份,每1 份长1 分米,就是0.1 米.为了让数值更加精确,可以继续把0.1 米平均分成10 份,每1 份长1 厘米,也就是0.01 米.这样,测量出来的黑板底边长度就是1.33 米.这类活动的特征是模拟,我们生活中一般不会有如此简化的地图,在测量时也不会真的有刻度为“米”的尺.设计这样的情境只是为了帮助学生利用一定的生活经验来体验新概念的形成过程.
（3）可能对学生的概念学习产生负面影响的生活经验.在数学活动中,学生通过外显的行为操作,对学习材料的第一手直观感受、体验和经验一般是直接经验,这类操作的直接价值并不是问题的解决,而是对学习材料的感性认识.
当然,要使这类经验能合理地积淀,有时还需要经历一个判断、筛选、确认的环节,因为学生首次操作感知的结果并不一定是正确的,而错误的经验将会对学生的后续学习带来负面的影响.举个例子来说,在教学“认识角”时,我让学生去摸一摸具体实物上的角,然后让学生说一说有什么感觉.有的学生往往会回答：“角的顶点是尖尖的,摸上去有刺痛的感觉.”这个回答体现了学生的认知起点及初始经验处于“生活数学”范畴,不足以反映数学的本质特征.如果教师不及时加以纠正和引导,那么在接下去的练习中就有可能会出现类似钟面上指针的针尖也是角,墙角也是角的错误认识.因此,数学活动所期望学生获得的经验应与某些生活经验加以区别.
（二）设计课前预习单,引导学生经历数学对接生活的过程,把生活经验转化为数学经验
例如在学习“折线统计图”时,折线统计图适用于表示随着时间或次序逐渐变化的统计量,这对学生来说是一个全新的概念.能让学生深刻地体会到这一点是本节课的教学难点,怎样才能突破这一难点呢？我仔细分析了教材,教材中是直接出示“上海市月平均气温变化情况”的统计数据,学生没有经历数据统计的过程,也就没办法体验到这些数据是随着时间的推移一点点得到的.所以我设计了一个课前活动,让学生自己统计教室温度的变化情况,每隔一小时记录一次温度.通过这个活动,学生自然而然地就能体会到这些温度是随着时间推移一点点得到的,难点很顺利地突破了.
二、在课中积累数学活动经验
(一)概念引入时积累数学活动经验
（1）以丰富的感性材料为基础,引导学生经历多样化的体验过程.概念是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式.数学概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,而概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括.
例如,在体积的后续学习中,有一些题目的题意对学生来说较难理解,比如“铁块熔铸、沙坑铺路、不同容器倒水”等等,由于教师没有让学生亲历过这样的实验操作,缺乏相关活动经验,导致很多学生无所适从.其实这涉及到了体积的守恒性：物体的体积不会因物体的位置、形状的改变而变化.在概念学习的起始课,让学生通过操作、观察,见证这样的事实是很有必要的,可以让学生建立等积变形的表象,感悟体积守恒性,为后续学习打下良好的基础.
（2）珍惜错误资源,以“问题”的形式引导学生经历自主的体验过程.没有比较就没有鉴别,一个数学概念在学生头脑中初步形成之后,如果缺少相应的“变式”的理解,将会是模糊的、不全面的.
例如,在学习三角形的概念时,我首先让学生准备好各种平面图形卡片,引导学生思考:将所有这些图形分成几类,你会怎么分?为什么?学生能够容易地得到:可以将三角形单独分为一类,因为它们都是有三条线段的图形.其次,针对“三条线段”的图形,我们可以出示反例:这两个图形也是由三条线段组成的,它们是三角形吗?为什么?学生意识到,三角形不仅仅是由三条线段组成,而且是由三条线段围成的.再次,针对“三条线段围成”,我们进一步出示反例:像这样,由三条线段围成的图形是三角形吗?很显然,这时的三条线段没有首尾相连,因而组成的图形不是三角形.最后,为了强调“首尾相连”,我们可以继续出示反例:像这样,你认为它们是不是符合首尾相连的要求,是三角形吗?这时,学生会认识到,三条线段没有全部首尾相连,还有一个缺口,没有封闭.通过反例,激起学生认知冲突,促使学生在层层递进的矛盾解决中建立起数学概念,丰富对数学概念的理解,形成对数学概念全面、深刻的理解.
(二)概念形成时积累数学活动经验
（1）充分利用学具,引导学生经历操作与思考的过程,帮助学生积累操作性经验.学生数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程,而且小学生的思维处在具体运算阶段,其对于概念的理解是建立在直观形象的基础之上的,所以在数学概念教学中,教师必须给学生充分动手操作的机会,在动手操作中展现概念的形成过程,让学生亲身经历数学概念形成过程中形象而生动的性质,充分展现概念发生、发展、形成的过程；让学生充分经历“个性化”的定义过程,以便使学生对概念的自主建构和真正理解成为可能.
例如,在二年级《平均分》这一课中,我试图让学生在具体的操作活动中,体会平均分的操作方法,通过操作与交流进一步体验什么叫平均分.通过个性化学习成果的共享,体会到平均分可以有不同的分的过程,其背后也是因为有不同的思考方法,并在“不同”中体会“相同”之处,从而更好地理解平均分的含义,同时发展学生解决问题策略的多样化.培养学生的合作意识与人交流的习惯,发展学生的数学语言表达能力.学生“分草莓的过程”不仅丰富了感觉、知觉的经验,而且也为相互之间的思维碰撞提供了丰富的资源.动手操作不仅仅是直观、形象的“手指运动”,更是丰富、生动的思维活动,并在这一过程中实现操作经验与思考经验、策略性经验的有机融合,积累丰富的数学活动经验.
（2）充分把握教材,设计探究性教学活动,帮助学生积累探究性经验.积累探究经验不是通过简单的活动和思考就可以完成,它更强调的是一种真实的情境,对数学思想方法的学习和体验.
例如,在《长度比较》一课中,我设计了一个学习单,让学生通过学习单上的活动,自己探究比较的方法.其中一共有4 个学习活动,活动1 是让学生比较2 根长短很明显的小棒,他们基本上只需看一眼就能判断出长短.活动2 是比较2 根长短不明显的吸管,这时一眼无法判断,就需要把2 根吸管的一端对齐后再比长度.活动3 是比较2 根长短不明显的丝带,这时不但要一端对齐,还要拉直后才能比出长短.这3 个活动学生都能完成,我只是帮他们整理归纳出3 个比较的方法.然后我们再完成活动4,学生可以灵活运用各种长度比较的方法,从中体会多角度思考的乐趣,同时也能从直接比较向间接比较过渡.
（3）引导学生经历概念形成过程,帮助学生积累抽象概括的思考性经验.抽象概括是形成概念、得出规律的关键手段,也是建立数学模型最为重要的思维方法.例如,在教学“加法交换律”时,我先通过一系列教学环节得到了如下算式：45+32等于32+45,12+40等于40+12,0+67等于67+0……之后,我引导学生发现这些算式同的规律：把相加的两个数交换之后,它们的结果相等.接着我追问：交换了什么？在加法中的结果可以说成什么？学生回答：交换加数的位置,它们的和不变.我接着问：两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变.具有这样规律的等式你们还能写吗？能写出多少个？学生马上发现,能写出无数个.于是我就问学生有没有更好的办法来解决,学生通过思考后,有的就能自己想到：我们之前学过用字母表示数,这里就可以用一个字母来表示一个数.也就是a+b等于b+a表示.a 表示加数,b 也表示加数,位置交换之后结果还是相等.
在上述教学案例中,学生的经验生成是在思维层面进行的,没有依附于具体的情境,仅在头脑中进行合情推理,并且整个过程更趋于有序.从获得的经验类型来看,这类活动中获得的经验相对前两种更侧重策略和方法,也更为理性.从这点上可以看出,思考性经验的获取是派生出思维模式和思维方法的重要渠道,这些成分对学生开展创新性活动具有十分重要的奠基作用.就一个人的理性而言,思维过程也能积淀出一种经验,这种经验就属于思考性经验.一个数学活动经验相对丰富并且善于反思的学生, 他的数学直觉必然会随着经验的积累而增强.
(三)概念巩固时积累数学活动经验
（1）引导学生经历对概念反思辨析的过程,帮助学生积累数学活动经验.例如,五年级《平均数》这一课中“平均数”的概念就比较有难度,因为平均数是一个统计意义上的数,并不是一个看得见摸得着的数.对于学生来说,虽然知道了“平均数是一个统计数值,没有实物可以对照”,也会根据一组数据算出平均数,似乎已经掌握了“平均数”的概念.但是,实际并非如此,这时就需要对概念进行反思和辨析,在这一过程中进一步加深对“平均数”的理解.
如“一篮子鸡蛋,每个鸡蛋的重量如下：56 克,55 克,54 克,58 克,55 克,53 克,54 克,这一篮子鸡蛋平均一个重52 克.”这道判断题,就能帮助学生进一步探索平均数的取值范围.有的学生能一眼看出鸡蛋的平均重量不可能是52 克,因为每个鸡蛋的重量都比52 克重,而有的学生则需要通过计算出这些鸡蛋的平均重量后,再与52 克相比较,从而发现平均数的取值范围是有一定规律可循的.再如这题：①9 只篮球平均分放到3 只木框中,每筐有（ ）只篮球；②3 个筐子,一共有9 只篮球,平均每框有（ ）只篮球.这两句话有什么区别？哪个数是平均数？这就是帮助学生辨析“平均分”和“平均数”,前者可以通过动手分一分,实际看到这个数值.而后者是一个统计数值,没有对应的实物可参照.有的学生通过新课的学习后,可以马上辨析出这两者之间的关系,而有的学生则需要借助实物或是简易图来帮助理解这两句话,从而进行辨析.无论学生的能力强弱,他们都能通过对概念反思辨析的过程,积累一定的数学活动经验,而且对概念的理解也能更加深刻和清晰.
（2）引导学生经历对概念应用的过程,帮助学生积累应用性经验.由于数学概念的抽象性和严密性,数学概念的理解不是一次能完成的,要逐步深化和系统建构.用新概念解决数学问题,是巩固概念的最有效的方式.数学概念形成之后,应通过实际应用加深对概念本质的理解,在问题解决中领会概念的价值和作用.
例如,当学生掌握“平均数”的概念后,为了让学生能深刻理解平均数的本质属性,我组织学生计算班级一组同学的平均身高,以此来估计全班的平均身高.在实际运用中使学生系统掌握平均数的概念,学生从中了解平均数的来龙去脉,将它纳入到原有的概念系统中.不但能使学生全面、深刻地理解新概念,而且能使原有概念得到充实和发展,更加巩固.
（3）在课后运用数学活动经验.数学教育应努力激发学生的学习情感,将数学与学生的生活、学习联系起来,学习有活力的、活生生的数学.所以,帮助学生在日常生活中再次感悟所学的概念,并获得数学活动经验也显得十分重要.
例如,当学生学习了表面积的概念及计算方法后,可以让他们帮助父母测算装修住房平铺地砖的费用.首先让学生测量、计算房间的面积.了解各种图形面积的计算方法在实际中的运用.再了解市面上地砖的种类.比如有正方形、长方形等,可以一起探讨用什么形状的地砖可以更节省材料.从中还可以关注地砖的花色品种选择后拼成的图案是否和轴对称图形有关.然后通过了解地砖的单价、地砖的数量、安装地砖的工钱如何支付等,最后测算出需要的总费用.通过让学生主动从数学的角度测算平铺地砖所需费用,使学生切实了解数学在实际生活中无处不在,能够主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略.
总之,在概念教学中必须创设情境,教学过程要符合学生的认知规律,要引导学生经过直观动作体验、表象抽象、语言概括,经历数学概念形成的过程,让学生感受数学问题的本质,并在解决问题的过程中系统地构建概念.
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